笔试算法题（58）：二分查找树性能分析（Binary Search Tree Performance Analysis）-白红宇

笔试算法题（58）：二分查找树性能分析（Binary Search Tree Performance Analysis）

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发布时间：2019-06-27

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议题：二分查找树性能分析（Binary Search Tree Performance Analysis）

分析：

二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一颗典型的二叉树，同时任何节点的键值大于等于该节点左子树中的所有键值，小于等于该节点右子树中的所有键值，并且每个节点域中保存一个记录以其为根节点的子树中所有节点个数的属性，这个属性可用于支持贪婪算法的实现；

二叉搜索树的建立是在树的底部添加新的元素，搜索即从根元素开始到达树底部的一条路径，插入和搜索相似（注意对重复键的处理），排序按照节点访问方式不同有前序、中序、后序三种；

二叉搜索树算法的运行时间取决于树的形状，最好情况下根节点与每个外部节点间有㏒N个节点，此时树完全平衡，最坏情况下搜索路径上有N个节点。由于创建二叉搜索树的时候，第一个插入的元素总是作为根元素，所以元素插入的顺序决定树的形状。在随机情况下，极度平衡和极度不平衡的树都很少出现，所以这种情况下二叉搜索树算法有着良好的运行情况；

所以平均情况下，N个随机生成的BST树种，一次搜索，插入大约需要1.39㏒N此比较。如果键值不是随机出现，则二叉搜索树退化为N个节点的链表，一次操作为线性O(N)运行时间；

使用BST树存储文件中每一个文本串，基于字符串的排序使得搜索变得容易；

BottomUp插入策略：按照前序策略遍历整个树结构，首先查看当前节点是否为NULL，然后与关键值比较查看是否为目标值，不是的话就分别针对左右子树递归调用搜索算法，然后进入下一个结构，注意在递归调用之间的衔接是由返回一个节点来实现的，所以如果已经到达树底部，则返回一个新节点，这个节点正好位于上一级的子树连接上，这样正好形成整个树结构；

TopDown插入策略：在BottomUp插入策略的基础上，将新插入的节点在递归回溯的时候逐层旋转，知道根节点的位置；使用基于递归插入操作和旋转操作的策略可以使得最近插入的元素接近BST树的顶部，同时保持树的平衡性。这种插入方式称为从根部插入，实现策略：首先使用普通递归插入将在树底部找到一个合适的位置插入新的节点，然后使用旋转操作将这个新加入的节点旋转到根节点处，不仅可以保持树的平衡，而且由于最近插入的项被使用的概率大，靠近根节点则加速搜索效率；

旋转操作：BST树中从根部插入新节点：首要考虑的就是是否能够保持BST树的性质。现在使用基于旋转（Rotation）的转换策略，使得BST树保持原有性质。旋转实质上是交换根节点和一个孩子的角色，同时保持各节点的顺序

选择第Kth个值（最小或者最大）：利用Node节点中的count标记（此标记说明以当前节点为根节点的子树的所有节点数），可以快速查找给定的序列中第Kth个最小或者最大值；当然前提是将给定的序列扩建成BST；从根节点开始，首先检查其左子树中节点个数，如果正好为K个则返回根节点本身，如果大于 K个节点，则对左子树递归调用算法，如果小于K个节点，则说明第K个最小键在根节点的右子树中，变成查找右子树中第K-t-1个最小键的项（t为左子树所有节点，1为根节点自身）；

BST树的节点删除操作：被删除的节点可以有三种情况，没有子节点，有一个子节点，有两个子节点。第一种情况可直接删除；第二种情况需要临时存储子节点的索引，并让被删除节点的父节点指向这个这个索引；第三种情况需要维护BST树的性质，所以一般性策略是选择右子树中最小的元素作为新的根节点（右子树中最小的元素出现在最左边，所以它至多只有一个子节点，可容易删除），然而有时候也会选择左子树中的最大元素作为新的根节点（由于在左右子树中任意选择新的节点作为新的根节点，所以可能造成BST树的不平衡）；

样例：

1 struct Node {  2         int value;  3         int count;  4         Node *left;  5         Node *right;  6         Node(int v, int c=1, Node* l=NULL, Node* r=NULL):  7                                 count(c), value(v), left(l), right(r) {  8   9         } 10 }; 11 /** 12  * 对root节点进行右旋转操作，也就是： 13  * 1. 让root原来的左孩子变成newRoot； 14  * 2. 让root变成newRoot的右子节点； 15  * 3. 让root原来的左孩子的的右子节点变成root的左子节点 16  * */ 17 Node* rightRotate(Node *root) { 18         Node *newRoot=root->left; 19         root->left=root->left->right; 20         newRoot->right=root; 21         return newRoot; 22 } 23 /** 24  * 对root节点进行左旋转操作，也就是： 25  * 1. 让root原来的右孩子变成newRoot； 26  * 2. 让root变成newRoot的左子节点； 27  * 3. 让root原来的右孩子的左子节点变成root的右子节点 28  * */ 29 Node* leftRotate(Node *root) { 30         Node *newRoot=root->right; 31         root->right=root->right->left; 32         newRoot->left=root; 33         return newRoot; 34 } 35  36 Node* binaryTreeSearch(Node *root, int target) { 37  38         if(root==NULL) 39                 return NULL; 40  41         if(target>root->value) 42                 return binaryTreeSearch(root->right, target); 43         else if(target
     
      value) 44                 return binaryTreeSearch(root->left, target); 45         else 46                 return root; 47 } 48  49 Node* binaryTreeInsert(Node *root, int target) { 50  51         if(root==NULL) { 52                 return new Node(target); 53         } 54  55         if(target>root->value) 56                 root->right=binaryTreeInsert(root->right, target); 57         else if(target
      
       value) 58                 root->left=binaryTreeInsert(root->left, target); 59  60         return root; 61 } 62 /** 63  * 这样可以将新插入的元素旋转到为root； 64  * 不仅可以保持BST的平衡性，而且可以保证 65  * 新插入的元素的最大访问延迟； 66  * */ 67 Node* binaryTreeInsertTopDown(Node *root, int target) { 68  69         if(root==NULL) { 70                 return new Node(target); 71         } 72  73         if(target>root->value) { 74                 root->right=binaryTreeInsert(root->right, target); 75                 root=leftRotate(root); 76         } 77         else if(target
       
        value) { 78                 root->left=binaryTreeInsert(root->left, target); 79                 root=rightRotate(root); 80         } 81  82         return root; 83 } 84  85 Node* binaryTreeInsertWithCount(Node *root, int target) { 86  87         if(root==NULL) { 88                 return new Node(target); 89         } 90  91         if(target>root->value) 92                 root->right=binaryTreeInsert(root->right, target); 93         else if(target
        
         value) 94                 root->left=binaryTreeInsert(root->left, target); 95         root->count++; 96         return root; 97 } 98 /** 99  * 从一个序列中选定第K大的数字，100  * */101 int binaryTreeSelect(Node *root, int k) {102         /**103          * 如果当前root为NULL，则选择失败104          * */105         if(root==NULL) {106                 printf("\nfind nothing-_-\n");107                 return -1;108         }109         /**110          * 如果root的左子节点为NULL111          * */112         if(root->left==NULL) {113                 if(k==1)114                         return root->value;115                 return binaryTreeSelect(root->right, k-1);116         }117         /**118          * 如果root的左子节点不为NULL；119          * 1. 如果K<=leftCount，则Kth个节点在左子树中120          * 2. 如果K==leftCount+1，则kth个节点就是root自身121          * 3. 如果k>leftCount+1，则Kth个节点就是右子树中的k-1-leftCount个节点122          * */123         int leftCount=root->left->count;124         if(leftCount>=k)125                 return binaryTreeSelect(root->left, k);126         else if(leftCount+1==k)127                 return root->value;128         else129                 return binaryTreeSelect(root->right, k-1-leftCount);130 }131 132 /**133  * 将指定的元素target旋转到根节点134  * */135 Node* binaryTreeRotate(Node *root, int target) {136 137         if(root==NULL)138                 return NULL;139 140         if(target>root->value) {141                 root->right=binaryTreeRotate(root->right,target);142                 leftRotate(root);143         } else if(target
         
          value) {144                 root->left=binaryTreeRotate(root->left,target);145                 rightRotate(root);146         }147 148         return root;149 }150 /**151  * 此方法寻找root的左子树中具有最大value的子节点，也就是最‘左边’的子节点；152  * */153 Node* subtreeRightMaximum(Node *root) {154         Node *cur=root;155         Node *pre;156         while(cur!=NULL) {157                 pre=cur;158                 cur=cur->left;159         }160         return pre;161 }162 /**163  * 此方法寻找root的右子树中具有最大value的子节点，也就是最‘左边’的子节点；164  * */165 Node* subTreeLeftMaximum(Node* root) {166         Node *cur=root;167         Node *pre;168         while(cur!=NULL) {169                 pre=cur;170                 cur=cur->right;171         }172         return pre;173 }174 175 Node* binaryTreeDelete(Node *root, int target) {176 177         if(root==NULL)178                 return NULL;179         Node *temp;180         Node *newRoot;181         /**182          * 如果target比root->value大，则说明其位于root的183          * 右子树，则继续递归184          * 如果target比root->value小，则说明其位于root的185          * 左子树，则继续递归186          * 如果target等于root->value，则说明当前节点root187          * 就是需要删除的节点，然后分三种情况讨论：188          * 1. 如果root没有左右子节点189          * 2. 如果root只有左节点或者只有右节点190          * 3. 如果root德尔左右子节点都存在；191          * */192         if(target>root->value)193                 root->right=binaryTreeDelete(root->right, target);194         else if(target
          
           value)195 root->left=binaryTreeDelete(root->left, target);196 else {197 if(root->left==NULL && root->right) {198 delete root;199 return NULL;200 } else if(root->left==NULL) {201 temp=root->right;202 delete root;203 return temp;204 } else if(root->right==NULL) {205 temp=root->left;206 delete root;207 return temp;208 }209 /**210 * 左右子节点都存在的情况，需要从左右子树中寻找下一个根节点；211 * 这里是从右子树中选取最小的一个节点作为新的根节点；212 * */213 newRoot=subtreeRightMaximum(root->right);214 /**215 * 由于右子树中最小的节点必然至多只有一个右节点，所以其删除操作216 * 较为简单；然后将其的左右子树替换成当前的左右子树；217 * */218 newRoot=binaryTreeDelete(root->right, newRoot->value);219 newRoot->right=root->right;220 newRoot->left=root->left;221 delete root;222 }223 224 }